Jak vypočítat gradient v bodě a derivaci funkce v bodě ve směru vektoru zadaného funkcí, bodem a vektorem

Často se vyskytuje problém, kdy potřebujete najít derivaci funkce v bodě ve směru vektoru, najít gradient funkce a derivaci modulu. Podívejme se na příklad.

b) derivace funkce z v bodě A ve směru vektoru a.
rozhodnutí
a) Najdeme parciální derivace funkce z v obecném tvaru:

Hodnoty těchto veličin v bodě A:

Gradient je určen vzorcem:

b) Určíme modul tohoto vektoru:

Odtud získáme hodnoty směrových kosinus vektoru a:

Hodnota derivace dané funkce ve směru vektoru a je určena vzorcem:

Jak najít gradient funkce

Chcete-li najít gradient funkce, musíte vypočítat její parciální derivace vzhledem ke každé proměnné a spojit je do vektoru. Zde jsou kroky k nalezení gradientu funkce:

1. Napište funkci, pro kterou potřebujete najít gradient. Předpokládejme, že máme funkci f(x, y) se dvěma proměnnými x a y.
2. Vypočítejte parciální derivace funkce f(x, y) vzhledem ke každé proměnné. Chcete-li to provést, vezměte derivaci funkce s ohledem na jednu proměnnou, přičemž všechny ostatní proměnné považujte za konstanty.
3. Představte parciální derivace jako vektor. Gradient funkce bude vektor, kde každá složka odpovídá parciální derivaci vzhledem k odpovídající proměnné. Pokud je například parciální derivace vzhledem k x ∂f/∂x a vzhledem k y ∂f/∂y, pak gradient bude vektor (∂f/∂x, ∂f/∂y).
4. Připraveno! Máte gradient funkce.

Gradient funkce je vektor, který udává směr největšího nárůstu funkce v každém bodě. Může být také použit při optimalizaci funkcí a vektorové analýze.

Často kladené otázky:

↪ Gradient funkce je vektor skládající se z parciálních derivací funkce vzhledem ke každé proměnné. Označuje směr největšího nárůstu funkce v každém bodě a používá se při optimalizaci funkcí a vektorové analýze.

↪ K nalezení gradientu funkce s více proměnnými je nutné vypočítat parciální derivace funkce vzhledem ke každé proměnné a spojit je do vektoru. Gradient bude vektor, kde každá složka odpovídá parciální derivaci vzhledem k odpovídající proměnné.

↪ Hodnoty gradientu funkce udávají směr největšího nárůstu funkce v každém bodě. Vektor gradientu bude v daném bodě kolmý k povrchu funkce a jeho délka bude udávat rychlost změny funkce v tomto směru. Velké hodnoty gradientu indikují strmější růst funkce, zatímco nulový gradient indikuje extrém nebo plató funkce.

• Jak najít gradient funkce
• Často kladené otázky:

Rozdáváme úvodní lekci zdarma!

Tutoři

• Učitel matematiky
• Lektor fyziky
• Lektor chemie
• Lektor ruského jazyka
• Lektor angličtiny
• Lektor sociálních studií
• Lektor ruské historie
• Učitel biologie
• Lektor zeměpisu
• Tutor informatiky

specializace

• Tutor jednotné státní zkoušky z chemie
• Příprava na olympiádu ve fyzice
• Lektor ruského jazyka OGE
• Lektor pro přípravu na esej sjednocené státní zkoušky v ruštině
• Tutor pro přípravu na jednotnou státní zkoušku z historie
• Tutor pro přípravu na OGE v historii
• Lektor pro přípravu na zkoušku z ruského jazyka
• VPR ve fyzice
• Lektor sociálních studií VPR
• Jednotná státní zkouška Informatika Tutor

Tento článek popisuje, jak vypočítat gradient z obrázku pomocí rozdílových vzorů. Navrhuje se zřejmý a krásný způsob optimalizace sekvence: „Rozostření -> Výpočet gradientu“. Článek je nezbytnou preambulí k plánovanému článku o rychlých a chytrých algoritmech pro výběr obrysů a rohů.

úvod

Gradient je vektorová veličina, která ukazuje směr nejrychlejšího nárůstu určité veličiny. V našem případě je „nějaká hodnota“ dvourozměrná funkce jasu obrázku, předpokládejme, že uvažujeme „pseudo-spojitý“ obrázek, pak je gradientový vektor určen vzorcem

kde jsem naším obrazem.
V praxi je obraz diskrétní a v klasickém smyslu derivace neexistuje, proto se používají jeho rozdílové analogy, např. v nejjednodušším případě

— levá derivační diference. Existuje velké množství různých analogů a všechny mají různé řády aproximace, více podrobností zde. Zvýšení řádu aproximace, například jako zde, by teoreticky mělo vést ke zvýšení přesnosti výpočtu derivace. Navíc zvýšením počtu prvků v aproximaci lze zlepšit odolnost vůči šumu.
Například použijeme rozdílovou analogii první derivace, šestý pořadí přesnosti aproximace v kroku diskretizace:

Nyní to předpokládejme já(i,j) – nezávislý náhodné proměnné distribuované podle jakéhokoli distribučního zákona a podívejme se na disperze:

1. Pro první přiblížení získáme:
2. Pro druhou aproximaci získáme

Zpravidla lze rozptyl aditivního šumu považovat za izotropní a z toho vyplývá následující vztah:

Faktor zesílení šumu (1.17) v případě aproximace derivace rozdílem vyššího řádu je tedy menší než faktor (2) v případě aproximace derivace levým rozdílem. Je logické, že to značně zvýší výpočetní náklady. A teď pár nákresů:

Obrázek 1 – Původní obrázek, 2 – gradientový modul podle prvního vzorce, 3 – gradientový modul podle druhého vzorce.

Ve výsledku jsme vypočítali gradient, kdy se složka šumu zvýšila ne 2x, ale pouze 1.17x, ale zase, pokud je v obraze šum, bylo by fajn předem (před výpočtem gradientu) snížit jeho rozptyl – např. rozostřit původní snímek I, tedy udělat konvoluci např. s Gaussovým jádrem f. Potom bude gradient zapsán jako:

z vlastností operátoru konvoluce je však znám vzorec:

Derivaci nepočítáme podle obrázku, ale podle jádra f; a výběr bodové šablony pro výpočet rozdílové analogie derivace je omezen pouze velikostí okna.

1. Vypočítáme rozdílové analogy derivátů vzhledem k jádru,
2. S obrázkem sbalíme získaná jádra
3. V důsledku toho získáme složky gradientového vektoru.

Co bude fungovat rychleji, a hlavně bude odolnější vůči hluku? Navrhuji, aby na tuto otázku odpověděli sami čtenáři v komentářích k článku.